Sıralama tabanlı spektral metotlar ile lineer kısmi diferensiyel denklemlerin reel düzlemde çözülmesi

Bu çalışmada, reel düzlem ve alt dörtgensel bölgelerinde tanımlı lineer kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri için sıralama tabanlı spektral (pseudo-spektral) tipte iki metot verilmiştir. Ele alınan iki farklı problem bölgesi için gerekli çift değişkenli baz fonksiyonları, eksponansiyel Chebyshev ve Fibonacci polinomları kullanılarak üretilmiştir. Kare integrallenebilir uzayındaki bu fonksiyonlara ait temel özellikler incelenmiş, tekrarlama bağıntıları ve operasyonel matrisleri elde edilmiştir. Spektral metotların temel uygulama prensibi gereğince, problemlere, tanım bölgesinin geometrisine göre belirlenecek baz fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonu şeklinde çözüm aranmıştır. Önerilen metotların, doğrusal kombinasyondaki bilinmeyen spektral katsayıların bulunmasındaki etkinliği test problemleri üzerinden gösterilmiştir. Son olarak, önerilen metotlar kullanılarak elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.

In this study, two collocation based spectral (pseudo-spectral) methods are given for the numerical solutions of linear partial differential equations defined on a real domain and its rectangular sub-domains. Bivariate base functions for two different regions of the handled problem are produced by using the exponential Chebyshev and Fibonacci polynomials. The main properties of these bases which are the elements of the space of the square integrable functions are investigated, and then recurrence relations and operational matrices are obtained. In accordance with the main application principles of the spectral methods, the solutions are sought as a linear combination of the base functions determined regarding the geometry of the domain of the problems. The effectiveness of the proposed methods for finding the unknown spectral coefficients are shown on the test problems. Finally, the results are discussed.